与えられた数学の問題集（実数、不等式）の中の問題を解きます。問題は以下の通りです。 (5) $|3x-1|=5$ (6) $|2x+1|>3$ (5) $|x+4|=3x$ (6) $|x|+|x-2|=6$

1. 問題の内容

与えられた数学の問題集（実数、不等式）の中の問題を解きます。問題は以下の通りです。

(5) $|3x-1|=5$

(6) $|2x+1|>3$

(5) $|x+4|=3x$

(6) $|x|+|x-2|=6$

2. 解き方の手順

(5) $|3x-1|=5$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $3x-1 \ge 0$、つまり $x \ge \frac{1}{3}$ のとき、$3x-1=5$ となり、$3x=6$ から $x=2$ が得られます。これは $x \ge \frac{1}{3}$ を満たします。

(ii) $3x-1 < 0$、つまり $x < \frac{1}{3}$ のとき、$-(3x-1)=5$ となり、$-3x+1=5$ から $-3x=4$ となり、$x = -\frac{4}{3}$ が得られます。これは $x < \frac{1}{3}$ を満たします。

(6) $|2x+1|>3$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $2x+1 \ge 0$、つまり $x \ge -\frac{1}{2}$ のとき、$2x+1>3$ となり、$2x>2$ から $x>1$ が得られます。これは $x \ge -\frac{1}{2}$ を満たします。

(ii) $2x+1 < 0$、つまり $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$-(2x+1)>3$ となり、$-2x-1>3$ から $-2x>4$ となり、$x<-2$ が得られます。これは $x < -\frac{1}{2}$ を満たします。

(5) $|x+4|=3x$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x+4 \ge 0$、つまり $x \ge -4$ のとき、$x+4=3x$ となり、$2x=4$ から $x=2$ が得られます。これは $x \ge -4$ を満たします。

(ii) $x+4 < 0$、つまり $x < -4$ のとき、$-(x+4)=3x$ となり、$-x-4=3x$ から $4x=-4$ となり、$x = -1$ が得られます。これは $x < -4$ を満たしません。

(6) $|x|+|x-2|=6$

場合分けが必要です。

(i) $x < 0$ のとき、$-x-(x-2) = 6$ となり、$-x-x+2 = 6$ から $-2x = 4$ となり、$x = -2$ が得られます。これは $x < 0$ を満たします。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき、$x-(x-2) = 6$ となり、$x-x+2=6$となり、$2=6$となるので不適。

(iii) $x \ge 2$ のとき、$x+(x-2)=6$ となり、$2x-2=6$から、$2x=8$ となり、$x=4$ が得られます。これは $x \ge 2$ を満たします。

3. 最終的な答え

(5) $x=2, -\frac{4}{3}$

(6) $x>1, x<-2$

(5) $x=2$

(6) $x=-2, 4$