3次方程式 $x^3+ax^2+bx-10=0$ が $2+i$ を解に持つとき、$a,b$ の値と実数解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3+ax^2+bx-10=0$ が $2+i$ を解に持つとき、$a,b$ の値と実数解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x=2+i$ を方程式に代入します。

$(2+i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$

$(2+i)^3 = (2+i)(3+4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i$

これらを $x^3+ax^2+bx-10=0$ に代入すると、

$(2+11i) + a(3+4i) + b(2+i) - 10 = 0$

実部と虚部に分けて整理します。

$(2 + 3a + 2b - 10) + (11 + 4a + b)i = 0$

複素数が0になるためには、実部と虚部がともに0でなければならないので、

$2 + 3a + 2b - 10 = 0$ より $3a + 2b = 8$

$11 + 4a + b = 0$ より $4a + b = -11$

この連立方程式を解きます。

$3a + 2b = 8$

$8a + 2b = -22$

上の式から下の式を引くと、

$-5a = 30$

$a = -6$

$b = -11 - 4a = -11 - 4(-6) = -11 + 24 = 13$

したがって、 $a = -6$, $b = 13$

方程式は $x^3-6x^2+13x-10=0$ となります。

(2) 実数係数の3次方程式が $2+i$ を解にもつので、$2-i$ も解にもちます。

解と係数の関係から、実数解を $p$ とすると

$(2+i) + (2-i) + p = -a = 6$

$4+p=6$

$p=2$

したがって、実数解は $x=2$ です。

また、$x^3-6x^2+13x-10$ を $(x - (2+i))(x - (2-i))$ で割ると

$(x - (2+i))(x - (2-i)) = x^2 - (2+i+2-i)x + (2+i)(2-i) = x^2 - 4x + 5$

筆算で割ると、$x^3-6x^2+13x-10 = (x^2 - 4x + 5)(x-2)$

したがって、$x-2=0$ より $x=2$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 13$

実数解 $x = 2$