問題は、次の3つの方程式および不等式を解くことです。 (1) $|x+4|=3x$ (2) $|x-3| \le -2x$ (3) $|x|+|x-2|=6$

1. 問題の内容

問題は、次の3つの方程式および不等式を解くことです。

(1) $|x+4|=3x$

(2) $|x-3| \le -2x$

(3) $|x|+|x-2|=6$

2. 解き方の手順

(1) $|x+4|=3x$

絶対値を外すために場合分けを行います。

(i) $x+4 \ge 0$ つまり $x \ge -4$ のとき

$x+4 = 3x$

$2x = 4$

$x = 2$

これは、$x \ge -4$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $x+4 < 0$ つまり $x < -4$ のとき

$-(x+4) = 3x$

$-x-4 = 3x$

$4x = -4$

$x = -1$

これは、$x < -4$ を満たさないので、解ではありません。

したがって、(1)の解は $x=2$です。

(2) $|x-3| \le -2x$

絶対値を外すために場合分けを行います。また、不等式の解であるためには $-2x \ge 0$ つまり $x \le 0$ である必要があります。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき

$x-3 \le -2x$

$3x \le 3$

$x \le 1$

これは、$x \ge 3$ と $x \le 0$ を満たさないので、解はありません。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき

$-(x-3) \le -2x$

$-x+3 \le -2x$

$x \le -3$

これは、$x<3$ と $x \le 0$ を満たし、また $x \le -3$ を満たすので、$x \le -3$ が解となります。

したがって、(2)の解は $x \le -3$ です。

(3) $|x|+|x-2|=6$

絶対値を外すために場合分けを行います。

(i) $x<0$のとき

$-x + -(x-2) = 6$

$-x-x+2=6$

$-2x = 4$

$x = -2$

これは、$x<0$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $0 \le x < 2$のとき

$x + -(x-2) = 6$

$x-x+2 = 6$

$2 = 6$

これは成り立たないので、この範囲に解はありません。

(iii) $x \ge 2$のとき

$x + (x-2) = 6$

$2x-2 = 6$

$2x = 8$

$x = 4$

これは、$x \ge 2$ を満たすので、解の一つです。

したがって、(3)の解は $x=-2$と$x=4$です。

3. 最終的な答え

(1) $x=2$

(2) $x \le -3$

(3) $x=-2, 4$