(5) $x^2 + x - 3$ で割ったとき、商が $x + 2$ で余りが $x$ であるような $x$ の多項式を求める。 (6) 多項式 $x^4 - ax^2 + 2x + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

(5) $x^2 + x - 3$ で割ったとき、商が $x + 2$ で余りが $x$ であるような $x$ の多項式を求める。

(6) 多項式 $x^4 - ax^2 + 2x + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(5) 求める多項式を $P(x)$ とすると、与えられた条件から

$P(x) = (x^2 + x - 3)(x + 2) + x$

と表せる。これを展開して整理する。

$P(x) = (x^2 + x - 3)(x + 2) + x = x^3 + 2x^2 + x^2 + 2x - 3x - 6 + x = x^3 + 3x^2 + 0x - 6$

(6) $x^4 - ax^2 + 2x + b$ を $x^2 - 2x + 2$ で割ったときの余りが $0$ になるように $a$ と $b$ を定める。実際に割り算を行う。

まず、$x^4 - ax^2 + 2x + b = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + (4-a)) + (2a-6)x + b-8+2a$

ここで、$2x+2$に$x^2-2x+2$をかけると$x^4 - 2x^3 + 2x^2$, よって$x^2$

次に、$x^2 - 2x + 2$に$2x$をかけると$2x^3 - 4x^2 + 4x$, よって$2x$

$x^4 - ax^2 + 2x + b = (x^2 - 2x + 2)(x^2+2x+4-a)+ (2a-6)x +b-8+2a$

$x^4 - ax^2 + 2x + b$が$x^2 - 2x + 2$ で割り切れるので、余りは0である。

したがって、

$2a - 6 = 0$

$b - 8 + 2a = 0$

これらの連立方程式を解く。

$2a = 6$ より $a = 3$。

$b - 8 + 2(3) = 0$

$b - 8 + 6 = 0$

$b - 2 = 0$

$b = 2$

3. 最終的な答え

(5) $x^3 + 3x^2 - 6$

(6) $a = 3$, $b = 2$