与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + y - 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + y - 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について降べきの順に整理する。

$2x^2 + (5y+5)x + (2y^2 + y - 3)$

定数項である $2y^2 + y - 3$ を因数分解する。

$2y^2 + y - 3 = (2y + 3)(y - 1)$

したがって、$2x^2 + (5y+5)x + (2y + 3)(y - 1)$ を因数分解する。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると仮定する。

$2x^2 + (a+2c)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

これを元の式と比較すると、$ac = 2$, $a+2c = 5$, $bd = -3$, $2d+b = 5$, $ad+bc = 1$ を満たす $a, b, c, d$ を見つければ良い。

$2y^2 + y - 3 = (2y+3)(y-1)$ より、この形を利用することを考える。

$(2x + 2y + 3)(x + y - 1) = 2x^2 + 2xy - 2x + 2xy + 2y^2 - 2y + 3x + 3y - 3 = 2x^2 + 4xy + 2y^2 + x + y - 3$

係数が異なっているので、別の組み合わせを探す。

$(2x + y + a)(x + 2y + b) = 2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

$2b+a = 5$, $b+2a = 1$ , $ab = -3$ を満たす $a, b$ を探す。

$a = 5 - 2b$ を $b+2a=1$ に代入する。

$b+2(5-2b) = 1$

$b+10-4b = 1$

$-3b = -9$

$b = 3$

$a = 5 - 2(3) = -1$

$ab = (3)(-1) = -3$ となるので条件を満たす。

$(2x + y - 1)(x + 2y + 3) = 2x^2 + 4xy + 6x + xy + 2y^2 + 3y - x - 2y - 3 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + y - 3$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x + 2y + 3)$