問題30は、ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ と $\vec{b} = (5, 2)$ が与えられたとき、指定されたベクトル $\vec{c} = (8, -7)$ および $\vec{d} = (9, 7)$ を、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す問題です。 問題31は、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、与えられた等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

問題30は、ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ と $\vec{b} = (5, 2)$ が与えられたとき、指定されたベクトル $\vec{c} = (8, -7)$ および $\vec{d} = (9, 7)$ を、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す問題です。

問題31は、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、与えられた等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

問題30 (1)

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる $s$ と $t$ を求めます。

$\vec{c} = s(1, -3) + t(5, 2) = (s + 5t, -3s + 2t)$

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$s + 5t = 8$

$-3s + 2t = -7$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式を3倍すると $3s + 15t = 24$

2つ目の式と足すと $17t = 17$ より $t = 1$

$s + 5(1) = 8$ より $s = 3$

よって、$\vec{c} = 3\vec{a} + \vec{b}$

問題30 (2)

$\vec{d} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる $s$ と $t$ を求めます。

$\vec{d} = s(1, -3) + t(5, 2) = (s + 5t, -3s + 2t)$

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$s + 5t = 9$

$-3s + 2t = 7$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式を3倍すると $3s + 15t = 27$

2つ目の式と足すと $17t = 34$ より $t = 2$

$s + 5(2) = 9$ より $s = -1$

よって、$\vec{d} = -\vec{a} + 2\vec{b}$

問題31 (1)

$2x\vec{a} - 5\vec{b} = 8\vec{a} + (3y + 1)\vec{b}$

$(2x - 8)\vec{a} = (3y + 6)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は線形独立なので、$2x - 8 = 0$ かつ $3y + 6 = 0$

したがって、$x = 4$ かつ $y = -2$

問題31 (2)

$x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$

$(x + y)\vec{a} + (x - y)\vec{b} = 4y\vec{a} + \vec{b}$

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$x + y = 4y$

$x - y = 1$

1つ目の式より $x = 3y$

2つ目の式に代入して $3y - y = 1$ より $2y = 1$

したがって、$y = \frac{1}{2}$

$x = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

問題30 (1): $\vec{c} = 3\vec{a} + \vec{b}$

問題30 (2): $\vec{d} = -\vec{a} + 2\vec{b}$

問題31 (1): $x = 4, y = -2$

問題31 (2): $x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}$