不等式 $x - a < 2(5 - x)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が 5 であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $x - a < 2(5 - x)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が 5 であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x$ について解きます。

$x - a < 2(5 - x)$

$x - a < 10 - 2x$

$x + 2x < 10 + a$

$3x < 10 + a$

$x < \frac{10 + a}{3}$

不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 5 であるということは、

$5 < x < 6$ を満たす $x$ が存在し、かつ $x < \frac{10 + a}{3}$ の範囲で最大の整数が 5 であることを意味します。したがって、

$5 < \frac{10 + a}{3} \le 6$

という関係が成り立ちます。この不等式を解いて、$a$ の値の範囲を求めます。

まず、各辺を 3 倍します。

$15 < 10 + a \le 18$

次に、各辺から 10 を引きます。

$15 - 10 < a \le 18 - 10$

$5 < a \le 8$

3. 最終的な答え

$5 < a \le 8$