与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開します。

まず、$(a+b-c)(ab-bc-ca)$ を展開します。

\begin{align*} (a+b-c)(ab-bc-ca) &= a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca) \\ &= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a \\ &= a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 3abc \end{align*}

次に、これに $abc$ を加えます。

\begin{align*} (a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 3abc) + abc &= a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc \end{align*}

ここで、この式を因数分解してみます。

\begin{align*} & a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc \\ &= a^2(b-c) + a(b^2 + c^2 - 2bc) + bc(c-b) \\ &= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(b-c) \\ &= (b-c)[a^2 + a(b-c) - bc] \\ &= (b-c)[a^2 + ab - ac - bc] \\ &= (b-c)[a(a+b) - c(a+b)] \\ &= (b-c)(a+b)(a-c) \\ &= -(c-b)(a+b)(a-c) \\ &= (a+b)(b-c)(a-c) \end{align*}

もしくは、

\begin{align*} (a+b)(b-c)(a-c) &= (ab - ac + b^2 - bc)(a-c) \\ &= a^2b - a^2c + ab^2 - abc - a^2c + ac^2 - abc + bc^2 \\ &= a^2b - 2a^2c + ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 \end{align*}

これは少し違う形になっています。

$(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開した結果は、$a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc$ です。

$a=1, b=2, c=3$とすると、

$(1+2-3)(1*2-2*3-3*1)+1*2*3= 0*(-7)+6=6$

$(1+2)(2-3)(1-3)=3*(-1)*(-2)=6$

したがって、展開した結果と因数分解した結果は一致しています。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b-c)(a-c)$