問題は、以下の3つの対数の計算です。 (4) $\log_{10} \frac{1}{27}$ (5) $\log_{10} \sqrt{10}$ (6) $\log_{10} 20$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの対数の計算です。

(4) $\log_{10} \frac{1}{27}$

(5) $\log_{10} \sqrt{10}$

(6) $\log_{10} 20$

2. 解き方の手順

(4) $\log_{10} \frac{1}{27}$ の計算:

まず、$\frac{1}{27}$ を $3$ の累乗で表します。$\frac{1}{27} = 3^{-3}$です。

次に、対数の性質 $\log_{a} x^n = n \log_{a} x$ を利用します。

$\log_{10} \frac{1}{27} = \log_{10} 3^{-3} = -3 \log_{10} 3$

$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ より、

$-3 \log_{10} 3 = -3 \times 0.4771 = -1.4313$

(5) $\log_{10} \sqrt{10}$ の計算:

$\sqrt{10}$ を $10$ の累乗で表します。$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$です。

次に、対数の性質 $\log_{a} x^n = n \log_{a} x$ を利用します。

$\log_{10} \sqrt{10} = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_{10} 10$

$\log_{10} 10 = 1$ より、

$\frac{1}{2} \log_{10} 10 = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

(6) $\log_{10} 20$ の計算:

$20$ を $2$ と $10$ の積で表します。$20 = 2 \times 10$です。

次に、対数の性質 $\log_{a} (xy) = \log_{a} x + \log_{a} y$ を利用します。

$\log_{10} 20 = \log_{10} (2 \times 10) = \log_{10} 2 + \log_{10} 10$

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$ と $\log_{10} 10 = 1$ より、

$\log_{10} 2 + \log_{10} 10 = 0.3010 + 1 = 1.3010$

3. 最終的な答え

(4) $\log_{10} \frac{1}{27} = -1.4313$

(5) $\log_{10} \sqrt{10} = \frac{1}{2}$

(6) $\log_{10} 20 = 1.3010$