与えられた7つの行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた7つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は、$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$で計算します。

(2) 3x3行列の行列式は、サラスの公式または余因子展開で計算できます。

(1)

$\det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = (3)(2) - (4)(1) = 6 - 4 = 2$

(2)

$\det \begin{pmatrix} -13 & -7 \\ 17 & 5 \end{pmatrix} = (-13)(5) - (-7)(17) = -65 + 119 = 54$

(3)

$\det \begin{pmatrix} \frac{35}{6} & -2 \\ \frac{1}{3} & \frac{22}{7} \end{pmatrix} = (\frac{35}{6})(\frac{22}{7}) - (-2)(\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 11}{3} + \frac{2}{3} = \frac{55}{3} + \frac{2}{3} = \frac{57}{3} = 19$

(4)

$\det \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 3(2 \cdot 3 - 0 \cdot 1) - 1(0 \cdot 3 - 0 \cdot 2) + 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 3(6) - 1(0) + 1(-4) = 18 - 0 - 4 = 14$

あるいは、第2行で余因子展開すると、

$(-1)^{2+2}2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 2(3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) = 2(9 - 2) = 2(7) = 14$

(5)

$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 1(0 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - 1(4 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + 1(4 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = 1(-1) - 1(12 - 3) + 1(4) = -1 - 9 + 4 = -6$

(6)

$\det \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -4 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 1((-2)(3) - (0)(1)) - (-3)((2)(3) - (0)(-4)) + (-1)((2)(1) - (-2)(-4)) = 1(-6) + 3(6) - 1(2 - 8) = -6 + 18 - (-6) = -6 + 18 + 6 = 18$

(7)

$\det \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 2 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = 3(6 \cdot 2 - (-3) \cdot 4) - (-1)(2 \cdot 2 - (-3) \cdot (-1)) + 4(2 \cdot 4 - 6 \cdot (-1)) = 3(12 + 12) + 1(4 - 3) + 4(8 + 6) = 3(24) + 1(1) + 4(14) = 72 + 1 + 56 = 129$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 54

(3) 19

(4) 14

(5) -6

(6) 18

(7) 129