数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 3^{n-1}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ を満たす。 (1) $n=1$ を漸化式に代入して $a_2$ を求め、$n=2$ を漸化式に代入して $a_3$ を求める。 (2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ により数列 $\{b_n\}$ を定め、$b_1$ を求める。 さらに、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求め、$b_{n+1} - \frac{ク}{ケ} = \frac{1}{カ} (b_n - \frac{ク}{ケ})$ と変形する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 3^{n-1}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ を満たす。

(1) $n=1$ を漸化式に代入して $a_2$ を求め、$n=2$ を漸化式に代入して $a_3$ を求める。

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ により数列 $\{b_n\}$ を定め、$b_1$ を求める。

さらに、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求め、$b_{n+1} - \frac{ク}{ケ} = \frac{1}{カ} (b_n - \frac{ク}{ケ})$ と変形する。

2. 解き方の手順

(1)

$n=1$ のとき、 $S_2 = \frac{1}{2} S_1 + 3^{1-1} = \frac{1}{2} S_1 + 1$ である。

$S_1 = a_1$ なので、問題文より $S_1 = 2$ である。

したがって、 $S_2 = \frac{1}{2} (2) + 1 = 1 + 1 = 2$ である。

$a_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$ である。よって、$a_2 = 0$ (ア)。

$n=2$ のとき、 $S_3 = \frac{1}{2} S_2 + 3^{2-1} = \frac{1}{2} S_2 + 3$ である。

$S_2 = 2$ なので、 $S_3 = \frac{1}{2} (2) + 3 = 1 + 3 = 4$ である。

$a_3 = S_3 - S_2 = 4 - 2 = 2$ である。よって、$a_3 = 2$ (イウ)。

(2)

$b_n = \frac{S_n}{3^n}$ である。

$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{2}{3}$ (エ)。

$S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 3^{n-1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{2} \frac{S_n}{3^{n+1}} + \frac{3^{n-1}}{3^{n+1}}$

$b_{n+1} = \frac{1}{2} \frac{S_n}{3^n \cdot 3} + \frac{1}{3^2}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{9}$ (オ)。

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{9}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{2}{18}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

$b_{n+1} - \frac{2}{3} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{9}$

$b_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6} (b_n - \alpha)$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n - \frac{1}{6} \alpha + \alpha = \frac{1}{6} b_n + \frac{5}{6} \alpha$

$\frac{5}{6} \alpha = \frac{1}{9}$

$\alpha = \frac{1}{9} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{15}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{9}$ より

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{9}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{2}{18}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

$b_{n+1} - \frac{2}{3} = \frac{1}{6} (b_n - \frac{2}{3} \cdot 6) = \frac{1}{6} (b_n - \frac{2}{3})$

$b_{n+1} - \frac{2}{15} = \frac{1}{6}(b_n - \frac{2}{15})$

よって、 $b_{n+1} - \frac{2}{15} = \frac{1}{6} (b_n - \frac{2}{15})$

したがって、$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + \frac{1}{9}$ であり、$b_{n+1} - \frac{2}{15} = \frac{1}{6} (b_n - \frac{2}{15})$ である。

よって、力=6、キ=1/9、ク=2、ケ=15

3. 最終的な答え

ア: 0

イウ: 2

エ: 2/3

オ: 1/9

力: 6

キ: 1/9

ク: 2

ケ: 15