与えられた多項式の割り算の商と余りを求める問題、条件を満たす多項式を求める問題、与えられた式を簡単にする問題が出題されています。具体的には、以下の問題に取り組みます。 (1) $2x^2 + 2x - 3$ を $x + 2$ で割ったときの商と余りを求める。 (7) $\frac{x+2}{2x^2 - x - 1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3}$ を計算し簡単にせよ。 (8) $\frac{1}{(x-5)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$ を計算し簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式の割り算の商と余りを求める問題、条件を満たす多項式を求める問題、与えられた式を簡単にする問題が出題されています。具体的には、以下の問題に取り組みます。

(1) $2x^2 + 2x - 3$ を $x + 2$ で割ったときの商と余りを求める。

(7) $\frac{x+2}{2x^2 - x - 1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3}$ を計算し簡単にせよ。

(8) $\frac{1}{(x-5)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$ を計算し簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 + 2x - 3$ を $x + 2$ で割る。

まず、筆算で割り算を行います。

```

2x - 2

x + 2 | 2x^2 + 2x - 3

-(2x^2 + 4x)

------------

-2x - 3

-(-2x - 4)

------------

1

```

商は $2x - 2$、余りは $1$ です。

(7) $\frac{x+2}{2x^2 - x - 1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3}$ を計算する。

まず、分母を因数分解します。

$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

したがって、

$\frac{x+2}{(2x+1)(x-1)} - \frac{4}{(x+3)(x-1)} = \frac{(x+2)(x+3) - 4(2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x+3)}$

$= \frac{x^2 + 5x + 6 - 8x - 4}{(2x+1)(x-1)(x+3)} = \frac{x^2 - 3x + 2}{(2x+1)(x-1)(x+3)}$

$= \frac{(x-1)(x-2)}{(2x+1)(x-1)(x+3)} = \frac{x-2}{(2x+1)(x+3)} = \frac{x-2}{2x^2 + 7x + 3}$

(8) $\frac{1}{(x-5)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$ を計算する。

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(x-5)(x-3)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-3})$

$\frac{1}{(x-3)(x-1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1})$

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3})$

したがって、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+3}) = \frac{1}{2}\frac{(x+3) - (x-5)}{(x-5)(x+3)} = \frac{1}{2}\frac{8}{(x-5)(x+3)} = \frac{4}{(x-5)(x+3)} = \frac{4}{x^2 - 2x - 15}$

3. 最終的な答え

(1) 商: $2x - 2$, 余り: $1$

(7) $\frac{x-2}{2x^2 + 7x + 3}$

(8) $\frac{4}{x^2 - 2x - 15}$