同じ太さの丸太を、一段上がるごとに1本ずつ減らして積み重ねる。ただし、最上段は1本とは限らない。125本の丸太を全部積み重ねる場合、最下段には最小限何本の丸太が必要か、また、その時の最上段は何本になるかを求める。

1. 問題の内容

同じ太さの丸太を、一段上がるごとに1本ずつ減らして積み重ねる。ただし、最上段は1本とは限らない。125本の丸太を全部積み重ねる場合、最下段には最小限何本の丸太が必要か、また、その時の最上段は何本になるかを求める。

2. 解き方の手順

丸太の数を数える問題は、等差数列の和の応用として考えることができる。

まず、最下段の丸太の数を $n$ とし、最上段の丸太の数を $m$ とする。この時、$m$は1以上の整数でなければならない。

丸太の総数が125本であることから、段数は $n - m + 1$ と表せる。

等差数列の和の公式を用いると、以下の式が成り立つ。

$\frac{(n+m)(n-m+1)}{2} = 125$

これを整理すると、以下のようになる。

$(n+m)(n-m+1) = 250$

$n$と$m$は整数であるから、$n+m$と$n-m+1$は250の約数である。また、$n+m$と$n-m+1$の偶奇は一致する。

250の約数は、1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250 である。

このうち、偶奇が一致する組み合わせは (2, 125), (10, 25)の二組のみである。

したがって、次の二つのパターンが考えられる。

(1) $n+m = 125$ かつ $n-m+1 = 2$ のとき

二つの式を足すと、$2n+1 = 127$ となるので、$n = 63$。

$m = 125 - n = 125 - 63 = 62$となる。

このとき、$m = 62 \geq 1$を満たす。

(2) $n+m = 25$ かつ $n-m+1 = 10$ のとき

二つの式を足すと、$2n+1 = 35$ となるので、$n = 17$。

$m = 25 - n = 25 - 17 = 8$となる。

このとき、$m = 8 \geq 1$を満たす。

問題文より、最下段の丸太の数は最小限でなければならないので、$n$ が小さい方が答えとして適切である。

したがって、$n=17$, $m=8$となる。

3. 最終的な答え

最下段に必要な丸太の数は17本。

最上段の丸太の数は8本。