与えられた対数の計算問題を解きます。問題は以下の2つです。 (3) $\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2}$ (4) $\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

1. 問題の内容

与えられた対数の計算問題を解きます。問題は以下の2つです。

(3) $\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2}$

(4) $\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

2. 解き方の手順

(3) $\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2}$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を使って計算します。

$\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2} = \log_2 \frac{20}{5\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4}{\sqrt{2}}$

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

したがって、

$\log_2 \frac{4}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(4) $\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

対数の性質 $n \log_a x = \log_a x^n$ を使って、

$\frac{1}{2}\log_3 5 = \log_3 5^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{5}$

したがって、

$\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3} = \log_3 \sqrt{5} - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を使って、

$\log_3 \sqrt{5} - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3} = \log_3 \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{15}}{3}} = \log_3 \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \log_3 \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \log_3 \frac{3}{\sqrt{3}} = \log_3 \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

したがって、

$\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $\frac{1}{2}$