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与えられた18個の数式を計算し、結果を求める問題です。

代数学展開平方根式の計算有理化
2025/6/5

1. 問題の内容

与えられた18個の数式を計算し、結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下の手順で計算を行います。
(1) (2+1)(3+2)(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{3} + 2)
展開します。
2⋅3+22+3+2=6+22+3+2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 = \sqrt{6} + 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2
(2) (32−1)(2−3)(3\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 3)
展開します。
32⋅2−92−2+3=6−102+3=9−1023\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 9\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 = 6 - 10\sqrt{2} + 3 = 9 - 10\sqrt{2}
(3) (2−3)(2+5)(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 5)
展開します。
2⋅2+52−32−15=2+22−15=−13+22\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 15 = 2 + 2\sqrt{2} - 15 = -13 + 2\sqrt{2}
(4) (23+6)(23−7)(2\sqrt{3} + 6)(2\sqrt{3} - 7)
展開します。
23⋅23−143+123−42=12−23−42=−30−232\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 14\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 42 = 12 - 2\sqrt{3} - 42 = -30 - 2\sqrt{3}
(5) (6−23)(6+3)(\sqrt{6} - 2\sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})
展開します。
6⋅6+63−236−233=6+18−218−6=−18=−32\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6}\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\sqrt{6} - 2\sqrt{3}\sqrt{3} = 6 + \sqrt{18} - 2\sqrt{18} - 6 = -\sqrt{18} = -3\sqrt{2}
(6) (43−26)(43+6)(4\sqrt{3} - 2\sqrt{6})(4\sqrt{3} + \sqrt{6})
展開します。
16⋅3+418−818−2⋅6=48−418−12=36−4(32)=36−12216 \cdot 3 + 4\sqrt{18} - 8\sqrt{18} - 2 \cdot 6 = 48 - 4\sqrt{18} - 12 = 36 - 4(3\sqrt{2}) = 36 - 12\sqrt{2}
(7) (2+1)2(\sqrt{2} + 1)^2
展開します。
(2)2+22+12=2+22+1=3+22(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}
(8) (23+5)2(2\sqrt{3} + \sqrt{5})^2
展開します。
(23)2+2(23)(5)+(5)2=4⋅3+415+5=12+415+5=17+415(2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 3 + 4\sqrt{15} + 5 = 12 + 4\sqrt{15} + 5 = 17 + 4\sqrt{15}
(9) (3+6)2(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2
展開します。
(3)2+2(3)(6)+(6)2=3+218+6=9+2(32)=9+62(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}
(10) (3−4)2(\sqrt{3} - 4)^2
展開します。
(3)2−2(4)(3)+42=3−83+16=19−83(\sqrt{3})^2 - 2(4)(\sqrt{3}) + 4^2 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 = 19 - 8\sqrt{3}
(11) (5−2)2(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2
展開します。
(5)2−2(5)(2)+(2)2=5−210+2=7−210(\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}
(12) (23−2)2(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2
展開します。
(23)2−2(23)(2)+(2)2=4⋅3−46+2=12−46+2=14−46(2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 4\sqrt{6} + 2 = 12 - 4\sqrt{6} + 2 = 14 - 4\sqrt{6}
(13) (4+23)(4−23)(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})
これは和と差の積の形なので、a2−b2a^2 - b^2 を利用します。
42−(23)2=16−4⋅3=16−12=44^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
(14) (23+22)(23−22)(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})
これも和と差の積の形なので、a2−b2a^2 - b^2 を利用します。
(23)2−(22)2=4⋅3−4⋅2=12−8=4(2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4
(15) (3+2)2−48(\sqrt{3} + 2)^2 - \sqrt{48}
(3+2)2=(3)2+43+4=3+43+4=7+43(\sqrt{3} + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 4\sqrt{3} + 4 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}
48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}
したがって、7+43−43=77 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 7
(16) (5+3)(5−3)+4812(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}}
(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=5−3=2(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
4812=4812=4=2\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{48}{12}} = \sqrt{4} = 2
したがって、2+2=42 + 2 = 4
(17) (33+1)(1−3)−(1−3)2(3\sqrt{3} + 1)(1 - \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3})^2
(33+1)(1−3)=33−9+1−3=23−8(3\sqrt{3} + 1)(1 - \sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9 + 1 - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 8
(1−3)2=1−23+3=4−23(1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
したがって、23−8−(4−23)=23−8−4+23=43−122\sqrt{3} - 8 - (4 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 8 - 4 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 12
(18) (4−2)2−(5−23)(5+23)(4 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})
(4−2)2=16−82+2=18−82(4 - \sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18 - 8\sqrt{2}
(5−23)(5+23)=(5)2−(23)2=5−4⋅3=5−12=−7(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 5 - 4 \cdot 3 = 5 - 12 = -7
したがって、18−82−(−7)=18−82+7=25−8218 - 8\sqrt{2} - (-7) = 18 - 8\sqrt{2} + 7 = 25 - 8\sqrt{2}

3. 最終的な答え

(1) 6+22+3+2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2
(2) 9−1029 - 10\sqrt{2}
(3) −13+22-13 + 2\sqrt{2}
(4) −30−23-30 - 2\sqrt{3}
(5) −32-3\sqrt{2}
(6) 36−12236 - 12\sqrt{2}
(7) 3+223 + 2\sqrt{2}
(8) 17+41517 + 4\sqrt{15}
(9) 9+629 + 6\sqrt{2}
(10) 19−8319 - 8\sqrt{3}
(11) 7−2107 - 2\sqrt{10}
(12) 14−4614 - 4\sqrt{6}
(13) 44
(14) 44
(15) 77
(16) 44
(17) 43−124\sqrt{3} - 12
(18) 25−8225 - 8\sqrt{2}

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