(1) $(3x+2)^2+2(3x+2)-3$ を因数分解する。 (2) $\triangle ABC$ において、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは、$\angle A > 90^\circ$ であるための必要条件、十分条件であるかを答える。 (3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ とする。$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ を求める。 (4) A, B, C, D, E, F の 6 人の生徒がいる。6 人の生徒から 3 人を選ぶ方法の総数と、6 人が横一列に並ぶとき、A, B, C の 3 人が連続して並ぶ方法の総数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(3x+2)^2+2(3x+2)-3$ を因数分解する。

(2) $\triangle ABC$ において、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは、$\angle A > 90^\circ$ であるための必要条件、十分条件であるかを答える。

(3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ とする。$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ を求める。

(4) A, B, C, D, E, F の 6 人の生徒がいる。6 人の生徒から 3 人を選ぶ方法の総数と、6 人が横一列に並ぶとき、A, B, C の 3 人が連続して並ぶ方法の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$X = 3x+2$ とおくと、

$X^2+2X-3 = (X+3)(X-1) = (3x+2+3)(3x+2-1) = (3x+5)(3x+1)$.

(2)

$\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは、$\angle A > 90^\circ$ であるための十分条件である。

なぜなら、$\angle A > 90^\circ$ ならば、$\triangle ABC$ は鈍角三角形である。

しかし、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であっても、$\angle A > 90^\circ$ とは限らない。例えば $\angle B > 90^\circ$ かもしれない。

よって、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは、$\angle A > 90^\circ$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

答えは 3。

(3)

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$。

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ なので $\sin \theta \geq 0$。

よって、$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = -2\sqrt{6}$。

(4)

6 人から 3 人を選ぶ方法は、${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

A, B, C の 3 人をひとまとめにして考えると、(ABC), D, E, F の 4 つのものを並べることになる。並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

A, B, C の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

よって、A, B, C の 3 人が連続して並ぶ方法は $4! \times 1 = 24$ 通り。

ABCの順番は固定。

$4! = 24$。A,B,Cを入れ替えないので、ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAの順番の入れ替えは起こらない。

(ABC)DEF

D(ABC)EF

DE(ABC)F

DEF(ABC)

の4通り。

ABCが固定のときは、$4! = 24$通り。

3. 最終的な答え

(1) $(3x+5)(3x+1)$

(2) 3

(3) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\tan \theta = -2\sqrt{6}$

(4) 20, 24