等差数列 $\{a_n\}$ において、$a_2 = 43$、$S_9 = 306$ のとき、以下の問いに答える。 (1) 0 はこの数列の項として存在するか。 (2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、その和を求めよ。 (3) 初項から第25項までの絶対値の和を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、$a_2 = 43$、$S_9 = 306$ のとき、以下の問いに答える。

(1) 0 はこの数列の項として存在するか。

(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、その和を求めよ。

(3) 初項から第25項までの絶対値の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

与えられた条件から、

$a_2 = a + d = 43$ (1)

$S_9 = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a+4d) = 306$ (2)

(2) より、 $a+4d = \frac{306}{9} = 34$ (3)

(3) - (1) より、$3d = 34-43 = -9$ なので、$d = -3$。

(1) に代入して、$a + (-3) = 43$ より、$a = 46$。

したがって、一般項は $a_n = 46 + (n-1)(-3) = 46 - 3n + 3 = 49 - 3n$。

(1) $a_n = 0$ となる $n$ が存在するかを調べる。

$49 - 3n = 0$ を解くと、$3n = 49$ より、$n = \frac{49}{3}$。

これは整数ではないので、0 はこの数列の項として存在しない。

(2) 和が最大になるのは、$a_n > 0$ である最大の $n$ までの和である。

$a_n = 49 - 3n > 0$ を解くと、$3n < 49$ より、$n < \frac{49}{3} = 16.333...$。

よって、$n=16$ のとき $a_n > 0$ であり、$n=17$ のとき $a_n < 0$ となる。

したがって、初項から第 16 項までの和が最大となる。

$S_{16} = \frac{16}{2}(2(46) + 15(-3)) = 8(92 - 45) = 8(47) = 376$。

(3) 初項から第 25 項までの絶対値の和を求める。

$a_n = 49 - 3n$ であるから、$a_{16} = 49 - 3(16) = 49 - 48 = 1$、$a_{17} = 49 - 3(17) = 49 - 51 = -2$。

$a_{25} = 49 - 3(25) = 49 - 75 = -26$。

$a_1, \dots, a_{16}$ は正であり、$a_{17}, \dots, a_{25}$ は負である。

$\sum_{n=1}^{25} |a_n| = \sum_{n=1}^{16} a_n - \sum_{n=17}^{25} a_n$。

$\sum_{n=1}^{16} a_n = S_{16} = 376$。

$\sum_{n=1}^{25} a_n = S_{25} = \frac{25}{2}(2(46) + 24(-3)) = \frac{25}{2}(92 - 72) = \frac{25}{2}(20) = 250$。

$\sum_{n=17}^{25} a_n = S_{25} - S_{16} = 250 - 376 = -126$。

したがって、$\sum_{n=1}^{25} |a_n| = 376 - (-126) = 376 + 126 = 502$。

3. 最終的な答え

(1) 0 はこの数列の項として存在しない。

(2) 初項から第 16 項までの和が最大であり、その和は 376 である。

(3) 初項から第 25 項までの絶対値の和は 502 である。