与えられた和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S$ を求めるために、以下の手順で計算を行います。

1. $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ とおく。

2. $2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n}$ を計算する。

3. $S - 2S$ を計算する。これにより、等比数列の和を求めることができる。

4. $-S$ の式を整理し、$S$ を求める。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^{n}$

等比数列の和の公式より、$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^{n} + 2^{n}$

$-S = 2 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^{n}$

$-S = 3 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n$

$-S = (3 - 2n) \cdot 2^n - 3$

$S = (2n - 3) \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$