次の4つの問題を解きます。 (1) $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解する。 (2) 方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解く。 (3) 方程式 $x^3 - 1 = 0$ を解く。 (4) 方程式 $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

次の4つの問題を解きます。

(1) $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解する。

(2) 方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解く。

(3) 方程式 $x^3 - 1 = 0$ を解く。

(4) 方程式 $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 2x^2 - x - 2$ の因数分解

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^2(x+2) - (x+2) = (x^2 - 1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2)$.

(2) $x^2 - 5x + 6 = 0$ の解

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$.

したがって、$x=2$ または $x=3$.

(3) $x^3 - 1 = 0$ の解

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$.

したがって、$x=1$ または $x^2 + x + 1 = 0$.

$x^2 + x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

よって、$x=1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

(4) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ の解

$x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2 + 4)(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x-1)(x+1) = 0$.

したがって、$x=1$ または $x=-1$ または $x^2 + 4 = 0$.

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x^2 = -4$ なので、$x = \pm 2i$.

よって、$x=1, -1, 2i, -2i$.

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+1)(x+2)$

(2) $x = 2, 3$

(3) $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(4) $x = 1, -1, 2i, -2i$