与えられた4つの問題があります。 1. $|2x - 1| = x + 3$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題があります。

1. $|2x - 1| = x + 3$ の解を求める。

2. $|3x + 2| < -x$ の解を求める。

3. 連立不等式

$\begin{cases} 4(x+2) \le 5x + 9 \\ \frac{11}{12} - \frac{1}{4}x < \frac{1}{3} \end{cases}$

の解を求める。

4. $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ の整数部分を $x$、小数部分を $y$ とするとき、$x$、$y$、$x - \sqrt{3}y$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

1. $|2x - 1| = x + 3$

絶対値記号を外すために場合分けをします。

* $2x - 1 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{1}{2}$ のとき、

$2x - 1 = x + 3$

$x = 4$ これは $x \ge \frac{1}{2}$ を満たす。

* $2x - 1 < 0$ つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき、

$-(2x - 1) = x + 3$

$-2x + 1 = x + 3$

$-3x = 2$

$x = -\frac{2}{3}$ これは $x < \frac{1}{2}$ を満たす。

よって、$x = 4, -\frac{2}{3}$

2. $|3x + 2| < -x$

まず、$-x > 0$ である必要があるので、$x < 0$ である必要があります。

絶対値記号を外すために場合分けをします。

* $3x + 2 \ge 0$ つまり $x \ge -\frac{2}{3}$ のとき、

$3x + 2 < -x$

$4x < -2$

$x < -\frac{1}{2}$

この場合、$-\frac{2}{3} \le x < -\frac{1}{2}$

* $3x + 2 < 0$ つまり $x < -\frac{2}{3}$ のとき、

$-(3x + 2) < -x$

$-3x - 2 < -x$

$-2x < 2$

$x > -1$

この場合、$-1 < x < -\frac{2}{3}$

したがって、$-1 < x < -\frac{1}{2}$

3. 連立不等式

$\begin{cases} 4(x+2) \le 5x + 9 \\ \frac{11}{12} - \frac{1}{4}x < \frac{1}{3} \end{cases}$

* $4x + 8 \le 5x + 9$

$-1 \le x$

$x \ge -1$

* $\frac{11}{12} - \frac{1}{4}x < \frac{1}{3}$

$11 - 3x < 4$

$-3x < -7$

$x > \frac{7}{3}$

したがって、$x > \frac{7}{3}$

4. $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ の整数部分と小数部分

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$2 + \sqrt{3} \approx 3.732$

整数部分 $x = 3$

小数部分 $y = \sqrt{3} - 1$

$x - \sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = 3 - (3 - \sqrt{3}) = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

1. $x = 4, -\frac{2}{3}$

2. $-1 < x < -\frac{1}{2}$

3. $x > \frac{7}{3}$

4. $x = 3$, $y = \sqrt{3} - 1$, $x - \sqrt{3}y = \sqrt{3}$