多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $P(x)$ を $x-2$, $x+6$, $x-\frac{1}{2}$, $x-\frac{3}{2}$ で割ったとき、割り切れるものを選択肢から選びます。 (2) $P(x)$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $P(x)$ を $x-2$, $x+6$, $x-\frac{1}{2}$, $x-\frac{3}{2}$ で割ったとき、割り切れるものを選択肢から選びます。

(2) $P(x)$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を利用します。$P(a)=0$ であれば、$x-a$ は $P(x)$ の因数です。それぞれの選択肢について $P(a)$ を計算します。

* $x-2$ の場合: $P(2) = 2(2)^3 - 7(2)^2 + 10(2) - 6 = 16 - 28 + 20 - 6 = 2$ よって割り切れません。

* $x+6$ の場合: $P(-6) = 2(-6)^3 - 7(-6)^2 + 10(-6) - 6 = -432 - 252 - 60 - 6 = -750$ よって割り切れません。

* $x-\frac{1}{2}$ の場合: $P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - 7(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{7}{4} + 5 - 6 = -\frac{6}{4} - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$ よって割り切れません。

* $x-\frac{3}{2}$ の場合: $P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - 7(\frac{3}{2})^2 + 10(\frac{3}{2}) - 6 = 2(\frac{27}{8}) - 7(\frac{9}{4}) + 15 - 6 = \frac{27}{4} - \frac{63}{4} + 9 = -\frac{36}{4} + 9 = -9 + 9 = 0$ よって割り切れます。

(2) (1)の結果より、$x-\frac{3}{2}$ が $P(x)$ の因数であることがわかります。よって、$2x-3$ も $P(x)$ の因数です。$P(x)$ を $2x-3$ で割ります。

$2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x-3)(x^2 - 2x + 2)$

選択肢の中に、$x^2-2x+2$がないため、$P(x)=(2x-3)(x^2-2x+2)$とは別の分解を探します。

割り切れるものを探すために、$P(x)$の因数分解を試みます。

$P(x)=2x^3-7x^2+10x-6$

試しにxに1を代入してみると、$P(1) = 2-7+10-6 = -1$

xに-1を代入してみると、$P(-1) = -2-7-10-6 = -25$

選択肢ウのx=0,2,3はヒントになっている可能性があります。

$P(0)=-6$, $P(2)=2$ であるため関係がないことがわかります。

$P(3)=2(27)-7(9)+10(3)-6=54-63+30-6 = 15$

合成除法を用いると、$P(x) = (x-\frac{3}{2})(2x^2 - 4x + 4)$

もう一度$x=\frac{3}{2}$で試します。

$P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3-7(\frac{3}{2})^2+10(\frac{3}{2})-6 = 0$

そのため、$P(x)=(x-\frac{3}{2})(2x^2-4x+4)$

$P(x)=(2x-3)(x^2-2x+2)$

ここで、選択肢にある形に合うように調整します。

$x^2-2x+2=(x^2+1)-2x+1$

選択肢の中で考えられる因数分解は存在しないようです。

問題文を再確認したところ、$P(x)$を因数分解し、**選択肢の中から正しいものを選ぶ**ことしか指示されていません。

そのため、$x-\frac{3}{2}$が割り切れることと、$P(x)=(2x-3)(x^2-2x+2)$であることを利用します。

$2x^2-4x+4 = 2(x^2-2x+2)$

最終的に$P(x) = (2x-3)(x^2-2x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{3}{2}$

(2) 解答群に該当するものがありません。一応、$P(x) = (2x-3)(x^2-2x+2)$と分解できます。