$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{1}{a} \ge 2$ が成り立つことを、相加平均と相乗平均の関係を用いて証明する問題です。証明の途中の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{1}{a} \ge 2$ が成り立つことを、相加平均と相乗平均の関係を用いて証明する問題です。証明の途中の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係は、一般に $x > 0, y > 0$ に対して、

$$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$$

が成り立つというものです。

この問題では、$x = a$、$y = \frac{1}{a}$ とします。すると、$a>0$ より $x>0$、$y>0$が成り立ちます。

相加平均と相乗平均の関係より、

$$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$$

$$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{1}$$

$$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$$

となります。

したがって、

$\frac{1}{2}(a + \frac{1}{a}) \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$

$\frac{1}{2}(a + \frac{1}{a}) \ge 1$

$a + \frac{1}{a} \ge 2$

が導き出されます。

3. 最終的な答え

1つ目の空欄には、$a + \frac{1}{a}$ が入ります。

2つ目の空欄には、$a \cdot \frac{1}{a}$ が入ります。