次の式を簡単にせよ。 $\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$

2. 解き方の手順

まず、内側の根号を外すことを考えます。$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ について、$4+2\sqrt{3}=(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$となる$a, b$を見つけたい。

$a^2+b^2 = 4$ , $2ab = 2\sqrt{3}$, すなわち $ab = \sqrt{3}$となる$a, b$を見つける。

$a = \sqrt{3}$、 $b = 1$とすると、$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$, $ab = \sqrt{3} \times 1 = \sqrt{3}$となり、条件を満たします。

よって、$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3} + 1$ となります。

次に、この結果を使って$\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$を計算します。

$\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}} = \sqrt{9+4(\sqrt{3}+1)} = \sqrt{9+4\sqrt{3}+4} = \sqrt{13+4\sqrt{3}}$

再び、根号を外すことを考えます。$\sqrt{13+4\sqrt{3}}$ について、$13+4\sqrt{3}=(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$となる$a, b$を見つけたい。

$a^2+b^2 = 13$ , $2ab = 4\sqrt{3}$, すなわち $ab = 2\sqrt{3}$となる$a, b$を見つける。

$a = 2\sqrt{3}$、 $b = 1$とすると、$a^2+b^2 = (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = 12 + 1 = 13$, $ab = 2\sqrt{3} \times 1 = 2\sqrt{3}$となり、条件を満たします。

よって、$\sqrt{13+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{3} + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$1 + 2\sqrt{3}$