多項式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x + 1$ を、(1) $x-2$ と (2) $x+1$ で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

## 問題3

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x + 1$ を、(1) $x-2$ と (2) $x+1$ で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

余りの定理を利用します。余りの定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ であるというものです。

(1) $x-2$ で割ったときの余りは $P(2)$ で求められます。

$P(2) = 2^3 - 4(2^2) + 6(2) + 1 = 8 - 16 + 12 + 1 = 5$

(2) $x+1$ で割ったときの余りは $P(-1)$ で求められます。

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -1 - 4 - 6 + 1 = -10$

3. 最終的な答え

(1) $x-2$ で割ったときの余り：5

(2) $x+1$ で割ったときの余り：-10

## 問題4

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ が、(1) $x-1$ と (2) $x-2$ を因数に持つかどうか調べます。

2. 解き方の手順

因数定理を利用します。因数定理とは、多項式 $P(x)$ が $x-a$ を因数に持つための必要十分条件は $P(a) = 0$ であるというものです。

(1) $x-1$ が因数であるかどうかを調べるために、$P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 - 2(1^2) + 4(1) - 8 = 1 - 2 + 4 - 8 = -5 \neq 0$

したがって、$x-1$ は $P(x)$ の因数ではありません。

(2) $x-2$ が因数であるかどうかを調べるために、$P(2)$ を計算します。

$P(2) = 2^3 - 2(2^2) + 4(2) - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0$

したがって、$x-2$ は $P(x)$ の因数です。

3. 最終的な答え

(1) $x-1$ は因数ではない

(2) $x-2$ は因数である