問題1：100以下の自然数のうち、6で割ると2余るものの和を求めよ。 問題2：$-8, a, b$ がこの順で等差数列をなし、$a, b, -36$ がこの順で等比数列をなすとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題1：100以下の自然数のうち、6で割ると2余るものの和を求めよ。

問題2：$-8, a, b$ がこの順で等差数列をなし、$a, b, -36$ がこの順で等比数列をなすとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

6で割ると2余る自然数は $6n + 2$ (nは整数) と表せる。

100以下の自然数なので、

$6n + 2 \leq 100$

$6n \leq 98$

$n \leq \frac{98}{6} = 16.333...$

したがって、$n = 0, 1, 2, ..., 16$

初項は $6 \cdot 0 + 2 = 2$

末項は $6 \cdot 16 + 2 = 98$

項数は $16 - 0 + 1 = 17$

等差数列の和の公式を用いると、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S = \frac{17(2 + 98)}{2} = \frac{17 \cdot 100}{2} = 17 \cdot 50 = 850$

問題2：

$-8, a, b$ が等差数列なので、

$a - (-8) = b - a$

$a + 8 = b - a$

$b = 2a + 8$ ...(1)

$a, b, -36$ が等比数列なので、

$\frac{b}{a} = \frac{-36}{b}$

$b^2 = -36a$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$(2a + 8)^2 = -36a$

$4a^2 + 32a + 64 = -36a$

$4a^2 + 68a + 64 = 0$

$a^2 + 17a + 16 = 0$

$(a + 1)(a + 16) = 0$

$a = -1$ または $a = -16$

$a = -1$ のとき、(1)より

$b = 2(-1) + 8 = -2 + 8 = 6$

$a = -16$ のとき、(1)より

$b = 2(-16) + 8 = -32 + 8 = -24$

したがって、$a = -1, b = 6$ または $a = -16, b = -24$

3. 最終的な答え

問題1：850

問題2：$(a, b) = (-1, 6), (-16, -24)$