数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項と初項から第30項までの和を求める問題です。数列は $3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, \dots$ と与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項と初項から第30項までの和を求める問題です。数列は $3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, \dots$ と与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 一般項を求める

与えられた数列の階差数列を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$とすると、

$b_1 = 7-3 = 4$

$b_2 = 13-7 = 6$

$b_3 = 21-13 = 8$

$b_4 = 31-21 = 10$

$b_5 = 43-31 = 12$

$b_6 = 57-43 = 14$

階差数列 $\{b_n\}$ は、 $4, 6, 8, 10, 12, 14, \dots$ となり、これは初項4、公差2の等差数列です。

したがって、$b_n = 4 + (n-1)2 = 2n + 2$となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (ただし、$n \ge 2$) で与えられます。

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2 = 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 3 + n(n-1) + 2n - 2 = 3 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 1$.

$n=1$のとき、$a_1 = 1^2 + 1 + 1 = 3$となり、与えられた数列の初項と一致します。

したがって、一般項は $a_n = n^2 + n + 1$です。

(2) 初項から第30項までの和を求める

$S_{30} = \sum_{n=1}^{30} a_n = \sum_{n=1}^{30} (n^2 + n + 1)$

$S_{30} = \sum_{n=1}^{30} n^2 + \sum_{n=1}^{30} n + \sum_{n=1}^{30} 1$

$\sum_{n=1}^{30} n^2 = \frac{30(30+1)(2\cdot 30+1)}{6} = \frac{30 \cdot 31 \cdot 61}{6} = 5 \cdot 31 \cdot 61 = 9455$

$\sum_{n=1}^{30} n = \frac{30(30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2} = 15 \cdot 31 = 465$

$\sum_{n=1}^{30} 1 = 30$

$S_{30} = 9455 + 465 + 30 = 9950$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = n^2 + n + 1$

(2) 初項から第30項までの和: 9950