与えられた2つの式が等しいことを示し、その式を用いて $S$ を求める問題です。与えられた式は以下の通りです。 $(1-x)S = 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$ $(1-x)S = \frac{1+2x-(3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式が等しいことを示し、その式を用いて $S$ を求める問題です。与えられた式は以下の通りです。

$(1-x)S = 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = \frac{1+2x-(3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

2. 解き方の手順

まず、最初の式を変形して、$(1-x)S$ を求めます。

$(1-x)S = 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = \frac{(1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1+2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1+2x - (3+3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

これは与えられた2つ目の式と同じです。したがって、$(1-x)S$ は以下のようになります。

$(1-x)S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

次に、$S$ を求めるために、両辺を$(1-x)$で割ります。

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$