与えられた式が等しいことを示す問題です。 $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた式が等しいことを示す問題です。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

2. 解き方の手順

まず、左辺を簡略化します。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2 \cdot 2^{n-1})$

$= \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 2^{n-1}$

$= 2^{n-1} \cdot 2^{n-1}$

$= 2^{(n-1) + (n-1)}$

$= 2^{2n-2}$

次に、右辺を簡略化します。

$2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1}) - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{n-2} \cdot 2^{n-1} - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{(n-2) + (n-1)} - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

ここで $2^{2n-2}$ を作り出すことを考えます．

$3 \cdot 2^{2n-3} = 3 \cdot 2^{2n-2-1} = 3 \cdot 2^{2n-2} \cdot 2^{-1} = \frac{3}{2} \cdot 2^{2n-2}$.

また，$2^{n-2}$を$2^{2n-2}$で表せるかを考えます. これは難しいです．

そこで、左辺を別の形で変形してみましょう。

左辺は、$2^{2n-2}$だったので、$2^{2(n-1)} = (2^2)^{n-1} = 4^{n-1}$.

右辺は、$2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$。

$2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{n-2+n-1} - 2^{n-2} = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2} = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$.

$2^{2n-2}$に等しくなることを確認するために、右辺の式を展開して簡略化します。

$2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{n-2} \cdot 2^{n-1} - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{n-2 + n-1} - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

$2^{2n-3} = 2^{2n-2-1} = 2^{2n-2} / 2$ なので,

$= 3 \cdot \frac{2^{2n-2}}{2} - 2^{n-2}$

$= \frac{3}{2} 2^{2n-2} - 2^{n-2}$.

左辺と右辺が等しくなるためには, $\frac{3}{2} 2^{2n-2} - 2^{n-2} = 2^{2n-2}$.

よって、$\frac{1}{2} 2^{2n-2} = 2^{n-2}$でなければなりません.

$2^{2n-3} = 2^{n-2}$。

$2n-3 = n-2$ より $n=1$

しかし、$n=1$は一般的に成り立つわけではないので、左辺と右辺は等しくありません。

問題文に誤りがあります。

3. 最終的な答え

与えられた式は一般的には成り立ちません。問題文に誤りがある可能性があります。