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与えられた等式が成り立つことを示す問題です。 等式は以下の通りです。 $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

代数学等式の証明指数法則
2025/6/7

1. 問題の内容

与えられた等式が成り立つことを示す問題です。
等式は以下の通りです。
12⋅2n−1(2n−1+2n−1)=2n−2(3⋅2n−1−1)\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)

2. 解き方の手順

左辺と右辺をそれぞれ計算し、両辺が等しくなることを示します。
まず左辺を計算します。
12⋅2n−1(2n−1+2n−1)=12⋅2n−1(2⋅2n−1)\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2 \cdot 2^{n-1})
=12⋅2n−1⋅21⋅2n−1= \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot 2^1 \cdot 2^{n-1}
=12⋅2n−1+1+n−1= \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1 + 1 + n-1}
=12⋅22n−1= \frac{1}{2} \cdot 2^{2n-1}
=2−1⋅22n−1= 2^{-1} \cdot 2^{2n-1}
=22n−1−1= 2^{2n-1-1}
=22n−2= 2^{2n-2}
次に右辺を計算します。
2n−2(3⋅2n−1−1)=2n−2(3⋅2n−1)−2n−2(1)2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1}) - 2^{n-2} (1)
=3⋅2n−2⋅2n−1−2n−2= 3 \cdot 2^{n-2} \cdot 2^{n-1} - 2^{n-2}
=3⋅2n−2+n−1−2n−2= 3 \cdot 2^{n-2+n-1} - 2^{n-2}
=3⋅22n−3−2n−2= 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}
=3⋅22n−3−2n−2= 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}
ここで、22n−22^{2n-2}の形になるように式を変形させることを考えます。
22n−2=4⋅22n−42^{2n-2} = 4 \cdot 2^{2n-4} と変形すると、右辺を以下のように変形できます。
2n−2(3⋅2n−1−1)=3⋅22n−3−2n−2=3⋅2⋅22n−4−2n−2=6⋅22n−4−2n−22^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2} = 3 \cdot 2 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2} = 6 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2}
また、22n−2=2n−2(2n)2^{2n-2} = 2^{n-2} (2^{n})と変形できることを利用して計算します。
2n−2(3⋅2n−1−1)=2n−2⋅3⋅2n−1−2n−2=3⋅22n−3−2n−22^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} \cdot 3 \cdot 2^{n-1} - 2^{n-2} = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}
22n−2=4⋅22n−42^{2n-2} = 4 \cdot 2^{2n-4}
22n−2=2n−2⋅2n=2n−2(2n−2+2)=2n−2(4⋅2n−2)=4⋅22n−42^{2n-2} = 2^{n-2} \cdot 2^{n} = 2^{n-2} (2^{n-2 + 2}) = 2^{n-2} (4 \cdot 2^{n-2}) = 4 \cdot 2^{2n-4}
よって、2n−2(3⋅2n−1−1)=2n−2(3⋅2⋅2n−2−1)=2n−2(6⋅2n−2−1)=6⋅22n−4−2n−22^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2 \cdot 2^{n-2} - 1) = 2^{n-2} (6 \cdot 2^{n-2} - 1) = 6 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2}
左辺 =22n−2=4⋅22n−4= 2^{2n-2}=4\cdot 2^{2n-4}
右辺 =6⋅22n−4−2n−2= 6 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2}
もう一度左辺を計算してみます。
12⋅2n−1(2n−1+2n−1)=2−1⋅2n−1(2⋅2n−1)=2−1⋅2n−1⋅21⋅2n−1=2−1⋅22n−1=22n−2\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n-1}) = 2^{-1} \cdot 2^{n-1} (2 \cdot 2^{n-1}) = 2^{-1} \cdot 2^{n-1} \cdot 2^1 \cdot 2^{n-1} = 2^{-1} \cdot 2^{2n-1} = 2^{2n-2}
右辺を計算します。
2n−2(3⋅2n−1−1)=3⋅2n−2⋅2n−1−2n−2=3⋅22n−3−2n−2=3⋅2⋅22n−4−2n−2=6⋅22n−4−2n−22^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{n-2} \cdot 2^{n-1} - 2^{n-2} = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2} = 3 \cdot 2 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2} = 6 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2}
ここで右辺は、単純化すると 22n−22^{2n-2} にならないことがわかります。

3. 最終的な答え

等式は成立しません。
左辺: 22n−22^{2n-2}
右辺: 6⋅22n−4−2n−26 \cdot 2^{2n-4} - 2^{n-2}

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