$x, y$ が以下の2つの不等式を満たすとき、 $x^2 + y^2 \leq 25$ $3x - 4y \geq 0$ (1) $-2x + y$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。 (2) $-2x + y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ が以下の2つの不等式を満たすとき、

$x^2 + y^2 \leq 25$

$3x - 4y \geq 0$

(1) $-2x + y$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

(2) $-2x + y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $-2x + y$ の最小値を求める。

$k = -2x + y$ とおくと、$y = 2x + k$ となる。

これを $x^2 + y^2 \leq 25$ に代入すると、

$x^2 + (2x + k)^2 \leq 25$

$x^2 + 4x^2 + 4xk + k^2 \leq 25$

$5x^2 + 4kx + k^2 - 25 \leq 0$

これは円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x + k$ が共有点を持つ条件を考えることになる。

円と直線が接するときに $k$ が最小となる。

$5x^2 + 4kx + k^2 - 25 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ のとき接する。

$D = (4k)^2 - 4(5)(k^2 - 25) = 16k^2 - 20k^2 + 500 = -4k^2 + 500 = 0$

$4k^2 = 500$

$k^2 = 125$

$k = \pm 5\sqrt{5}$

よって、$k = -5\sqrt{5}$ のとき最小値をとる。

接点の座標は、$5x^2 + 4(-5\sqrt{5})x + 125 - 25 = 0$

$5x^2 - 20\sqrt{5}x + 100 = 0$

$x^2 - 4\sqrt{5}x + 20 = 0$

$(x - 2\sqrt{5})^2 = 0$

$x = 2\sqrt{5}$

$y = 2x + k = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

ここで、$3x - 4y \geq 0$ を満たすかを確認する。

$3(2\sqrt{5}) - 4(-\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 10\sqrt{5} > 0$

したがって、$x = 2\sqrt{5}, y = -\sqrt{5}$ のとき最小値 $-5\sqrt{5}$ をとる。

(2) $-2x + y$ の最大値を求める。

同様に考えると、$k = 5\sqrt{5}$ のとき最大値をとる。

接点の座標は、$x = -2\sqrt{5}$

$y = 2x + k = -4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = \sqrt{5}$

ここで、$3x - 4y \geq 0$ を満たすかを確認する。

$3(-2\sqrt{5}) - 4(\sqrt{5}) = -6\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = -10\sqrt{5} < 0$

これは条件を満たさない。

$x^2 + y^2 = 25$ と $3x - 4y = 0$ の交点を求める。

$y = \frac{3}{4}x$

$x^2 + (\frac{3}{4}x)^2 = 25$

$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 25$

$\frac{25}{16}x^2 = 25$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

$x = 4$ のとき $y = 3$

$x = -4$ のとき $y = -3$

$-2x + y$ に $(4, 3)$ を代入すると、$-2(4) + 3 = -5$

$-2x + y$ に $(-4, -3)$ を代入すると、$-2(-4) + (-3) = 5$

よって、最大値は

5.

3. 最終的な答え

(1) $-2x + y$ の最小値は $-5\sqrt{5}$ で、$x = 2\sqrt{5}, y = -\sqrt{5}$

(2) $-2x + y$ の最大値は 5 で、$x = -4, y = -3$