数列 $\{a_n\}$ が $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \dots + na_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を満たすとき、$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \dots + na_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を満たすとき、$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $S_n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \dots + na_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ とおく。

$S_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$n=1$ のとき、$S_1 = a_1 = \frac{1}{6}(1)(2)(3) = 1$

$a_1 = 1$

$n \ge 2$ のとき、$S_{n-1} = a_1 + 2a_2 + \dots + (n-1)a_{n-1} = \frac{1}{6}(n-1)n(2(n-1)+1) = \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$

$S_n - S_{n-1} = na_n$ より、

$na_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$

$na_n = \frac{1}{6}n[(n+1)(2n+1) - (n-1)(2n-1)]$

$na_n = \frac{1}{6}n[2n^2 + 3n + 1 - (2n^2 - 3n + 1)]$

$na_n = \frac{1}{6}n[6n]$

$na_n = n^2$

$a_n = n$

これは $n=1$ のときも成り立つ。

したがって、$a_n = n$ となる。

求めたい和は

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)}{2}$