実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$2x+y$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$2x+y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) コーシー・シュワルツの不等式を利用する。

$a, b, c, d$ を実数とするとき、

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$

が成り立つ。

(2) $a=2, b=1, c=x, d=y$ とすると、

$(2^2 + 1^2)(x^2 + y^2) \geq (2x + y)^2$

$x^2 + y^2 = 1$ なので、

$(4 + 1)(1) \geq (2x + y)^2$

$5 \geq (2x + y)^2$

(3) よって、

$-\sqrt{5} \leq 2x + y \leq \sqrt{5}$

したがって、$2x + y$ の最大値は $\sqrt{5}$ である。

(4) 等号成立条件は $\frac{x}{2} = \frac{y}{1}$、つまり $x = 2y$ のとき。

$x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$(2y)^2 + y^2 = 1$

$4y^2 + y^2 = 1$

$5y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{5}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$x = \frac{2}{\sqrt{5}}$ であり、$2x + y = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.

$y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ であり、$2x + y = -\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$