$A = 2a^2 + 3ab - 4b^2$, $B = a^2 - 3ab + b^2$, $C = 2a^2 + 3ab - b^2$ のとき、次の式を計算します。 (1) $A+B+C$ (2) $3A-(5B+2C)$ (3) $AB-BC$

1. 問題の内容

$A = 2a^2 + 3ab - 4b^2$, $B = a^2 - 3ab + b^2$, $C = 2a^2 + 3ab - b^2$ のとき、次の式を計算します。

(1) $A+B+C$

(2) $3A-(5B+2C)$

(3) $AB-BC$

2. 解き方の手順

(1) $A+B+C$

まず、$A$, $B$, $C$を代入します。

$A+B+C = (2a^2 + 3ab - 4b^2) + (a^2 - 3ab + b^2) + (2a^2 + 3ab - b^2)$

同類項をまとめます。

$A+B+C = (2a^2 + a^2 + 2a^2) + (3ab - 3ab + 3ab) + (-4b^2 + b^2 - b^2)$

$A+B+C = 5a^2 + 3ab - 4b^2$

(2) $3A-(5B+2C)$

まず、$3A$, $5B$, $2C$を計算します。

$3A = 3(2a^2 + 3ab - 4b^2) = 6a^2 + 9ab - 12b^2$

$5B = 5(a^2 - 3ab + b^2) = 5a^2 - 15ab + 5b^2$

$2C = 2(2a^2 + 3ab - b^2) = 4a^2 + 6ab - 2b^2$

次に、$5B+2C$を計算します。

$5B+2C = (5a^2 - 15ab + 5b^2) + (4a^2 + 6ab - 2b^2) = 9a^2 - 9ab + 3b^2$

最後に、$3A-(5B+2C)$を計算します。

$3A-(5B+2C) = (6a^2 + 9ab - 12b^2) - (9a^2 - 9ab + 3b^2)$

$3A-(5B+2C) = 6a^2 + 9ab - 12b^2 - 9a^2 + 9ab - 3b^2$

$3A-(5B+2C) = (6a^2 - 9a^2) + (9ab + 9ab) + (-12b^2 - 3b^2)$

$3A-(5B+2C) = -3a^2 + 18ab - 15b^2$

(3) $AB-BC$

$AB = (2a^2 + 3ab - 4b^2)(a^2 - 3ab + b^2)$

$AB = 2a^4 - 6a^3b + 2a^2b^2 + 3a^3b - 9a^2b^2 + 3ab^3 - 4a^2b^2 + 12ab^3 - 4b^4$

$AB = 2a^4 - 3a^3b - 11a^2b^2 + 15ab^3 - 4b^4$

$BC = (a^2 - 3ab + b^2)(2a^2 + 3ab - b^2)$

$BC = 2a^4 + 3a^3b - a^2b^2 - 6a^3b - 9a^2b^2 + 3ab^3 + 2a^2b^2 + 3ab^3 - b^4$

$BC = 2a^4 - 3a^3b - 8a^2b^2 + 6ab^3 - b^4$

$AB - BC = (2a^4 - 3a^3b - 11a^2b^2 + 15ab^3 - 4b^4) - (2a^4 - 3a^3b - 8a^2b^2 + 6ab^3 - b^4)$

$AB - BC = 2a^4 - 3a^3b - 11a^2b^2 + 15ab^3 - 4b^4 - 2a^4 + 3a^3b + 8a^2b^2 - 6ab^3 + b^4$

$AB - BC = (2a^4 - 2a^4) + (-3a^3b + 3a^3b) + (-11a^2b^2 + 8a^2b^2) + (15ab^3 - 6ab^3) + (-4b^4 + b^4)$

$AB - BC = -3a^2b^2 + 9ab^3 - 3b^4$

3. 最終的な答え

(1) $A+B+C = 5a^2 + 3ab - 4b^2$

(2) $3A-(5B+2C) = -3a^2 + 18ab - 15b^2$

(3) $AB-BC = -3a^2b^2 + 9ab^3 - 3b^4$