与えられたL字型の図形の面積と等しい面積を持つ長方形を作る時、長方形の縦と横の長さを、$x$ の一次式で表しなさい。ただし、長方形の横の長さは縦の長さよりも長いものとする。L字型の図形の各辺の長さは、$x, x+2, x, x-4$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられたL字型の図形の面積と等しい面積を持つ長方形を作る時、長方形の縦と横の長さを、$x$ の一次式で表しなさい。ただし、長方形の横の長さは縦の長さよりも長いものとする。L字型の図形の各辺の長さは、$x, x+2, x, x-4$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、L字型の図形の面積を計算します。これは、大きな長方形から小さな長方形を引くことで求められます。大きな長方形の面積は $x(x+2)$ であり、小さな長方形の面積は $(x-(x-4))(x-(x))=4\cdot 0 = 0$となり、L字型の図形は大きな長方形から何も引いていないことになります。

したがって、L字型の図形の面積は、$x(x+2)=x^2+2x$ となります。

次に、この面積を持つ長方形の縦と横の長さを求めます。長方形の面積は縦×横で表されるので、縦の長さを$a$、横の長さを$b$とおくと、$ab=x^2+2x$となります。また、$a$と$b$は$x$の一次式で表される必要があります。

$x^2+2x$を因数分解すると、$x(x+2)$となります。

問題文の条件から、長方形の横の長さは縦の長さよりも長い必要があるため、$a < b$です。

仮に縦の長さを$x$、横の長さを$x+2$とした場合、これは与えられたL字型の図形の外側の長方形と等しくなります。

よって、縦の長さを$x$、横の長さを$x+2$とすると、問題の条件を満たします。

3. 最終的な答え

縦の長さ：$x$ cm

横の長さ：$x+2$ cm