問題は、$\sqrt{2(2-\sqrt{5})}-\sqrt{8}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sqrt{2(2-\sqrt{5})}-\sqrt{8}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{8}$ を簡単にします。 $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ です。

次に、$\sqrt{2(2-\sqrt{5})}$ を展開します。

$\sqrt{2(2-\sqrt{5})} = \sqrt{4-2\sqrt{5}}$

ここで、$\sqrt{4-2\sqrt{5}}$ を簡単にすることを試みます。$4-2\sqrt{5}$を $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$ の形に変形することを考えます。

$a+b = 4$

$ab = 5$

この条件を満たす $a, b$ は、$a=5, b=-1$ となります。しかし、$b$ は負の数なので、二乗の形に変形できません。

問題文をよく見ると、$\sqrt{24-\sqrt{6}}$ の問題と似たような間違いがあるのではないかと考えられます。

$\sqrt{2(2-\sqrt{5})} = \sqrt{4-2\sqrt{5}}$を$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$の形に変形することを諦め、問題文の意図を汲み取り、問題を作成した人が何をしたかったのかを推測します。

$\sqrt{4 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}= \sqrt{5}-1$になることを期待します。しかし$(\sqrt{5}-1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5} \neq 4 - 2\sqrt{5}$なので、この期待は間違っています。

そこで、$\sqrt{2(2-\sqrt{3})} = \sqrt{4-2\sqrt{3}}$ を考えてみます。$4-2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)^2$なので、$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$です。

問題文を再度確認すると、$\sqrt{2(2-\sqrt{5})}$であるため、これ以上簡単にすることは難しいと判断します。

したがって、$\sqrt{2(2-\sqrt{5})}-\sqrt{8} = \sqrt{4-2\sqrt{5}} - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{4-2\sqrt{5}} - 2\sqrt{2}$