与えられた式 $\sqrt{2(2-\sqrt{5})} - \sqrt{8}$ を計算して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{2(2-\sqrt{5})} - \sqrt{8}$ を計算して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2(2-\sqrt{5})}$ の部分を計算します。

$\sqrt{2(2-\sqrt{5})} = \sqrt{4 - 2\sqrt{5}}$

ここで、$4 - 2\sqrt{5}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ となります。

$a+b = 4$ かつ $ab = 5$ となる $a, b$ を探します。

$a=5, b=-1$　とすると、$a+b = 4$, $ab = 5$となります。

しかし、$a$と$b$は正の数である必要があります。

したがって、$4-2\sqrt{5}$ を $(\sqrt{5} - 1)^2$ の形に変形することはできません。

ここで、$\sqrt{4-2\sqrt{5}}$は正の値を取ることに注意します。

$\sqrt{4-2\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1$ ではないことに注意してください。なぜなら$\sqrt{5} > 4$ではないからです。$\sqrt{5} > 1$なので、$\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1$です。

$\sqrt{4-2\sqrt{5}}$ が正の値を取るように根号を外します。

ここでは二重根号を外すことを目指します。

$4 - 2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} - 1)^2$ とすることはできません。なぜなら $4 - 2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5} < 0$ であるからです。

$4 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$　という変形を試みましたが、この変形ではうまくいきません。

しかし、問題文を注意深く見ると、そもそも二重根号の中身の $4-2\sqrt{5}$ は負の値です。したがって $\sqrt{4-2\sqrt{5}}$は実数ではありません。

したがって、この問題には実数の範囲では答えがありません。

$\sqrt{8}$ は $2\sqrt{2}$ と簡単にできます。

したがって、与えられた式は $\sqrt{4-2\sqrt{5}} - 2\sqrt{2}$ となります。

$\sqrt{4-2\sqrt{5}}$ の部分は計算できません。

3. 最終的な答え

この問題には実数解が存在しません。