実数 $x, y$ が $x^2 + xy + y^2 = 6$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $x + y$ のとり得る値の範囲を求めます。 (2) $x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y$ のとり得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + xy + y^2 = 6$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $x + y$ のとり得る値の範囲を求めます。

(2) $x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y$ のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$s = x + y, t = xy$ とおきます。すると、与えられた条件は

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = s^2 - t = 6$ となります。

よって、$t = s^2 - 6$ です。

$x, y$ は実数なので、$x, y$ は $z$ に関する二次方程式 $z^2 - sz + t = 0$ の実数解です。

したがって、この二次方程式の判別式 $D = s^2 - 4t \ge 0$ でなければなりません。

$t = s^2 - 6$ を代入すると、

$s^2 - 4(s^2 - 6) \ge 0$

$s^2 - 4s^2 + 24 \ge 0$

$-3s^2 + 24 \ge 0$

$3s^2 \le 24$

$s^2 \le 8$

$-\sqrt{8} \le s \le \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} \le s \le 2\sqrt{2}$

したがって、$x+y$ のとり得る値の範囲は $-2\sqrt{2} \le x+y \le 2\sqrt{2}$ です。

(2)

$x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y = xy(x+y) - (x+y)^2 + x + y = xy(x+y) - (x+y)^2 + (x+y)$

$s = x + y, t = xy$ とおくと、

$ts - s^2 + s = s(s^2 - 6) - s^2 + s = s^3 - 6s - s^2 + s = s^3 - s^2 - 5s$

$f(s) = s^3 - s^2 - 5s$ とおきます。

$f'(s) = 3s^2 - 2s - 5 = (3s - 5)(s + 1)$

$f'(s) = 0$ とすると $s = -1, \frac{5}{3}$

$f(-2\sqrt{2}) = (-2\sqrt{2})^3 - (-2\sqrt{2})^2 - 5(-2\sqrt{2}) = -16\sqrt{2} - 8 + 10\sqrt{2} = -6\sqrt{2} - 8 \approx -16.48$

$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) = -1 - 1 + 5 = 3$

$f(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - (\frac{5}{3})^2 - 5(\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{25}{9} - \frac{25}{3} = \frac{125 - 75 - 225}{27} = \frac{-175}{27} \approx -6.48$

$f(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^3 - (2\sqrt{2})^2 - 5(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} - 8 - 10\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 8 \approx 0.48$

したがって、$-6\sqrt{2} - 8 \le x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y \le 3$

3. 最終的な答え

(1) $-2\sqrt{2} \le x+y \le 2\sqrt{2}$

(2) $-6\sqrt{2} - 8 \le x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y \le 3$