ボールを発射する問題で、以下の問いに答える問題です。 * 水平方向45°で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ で表されるとき、放物線の頂点の座標、ボールが最も高い位置にあるときの地面からの高さ、その時の水平距離を求めます。 * 発射したボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。 * 次に、水平方向30°で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ で表されるとき、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

1. 問題の内容

ボールを発射する問題で、以下の問いに答える問題です。

* 水平方向45°で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ で表されるとき、放物線の頂点の座標、ボールが最も高い位置にあるときの地面からの高さ、その時の水平距離を求めます。

* 発射したボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

* 次に、水平方向30°で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ で表されるとき、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ の頂点の座標を求めます。平方完成すると

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x + 100 - 100) = -\frac{1}{20}((x-10)^2 - 100) = -\frac{1}{20}(x-10)^2 + 5$

したがって、頂点の座標は (10, 5) です。

ボールが最も高い位置にあるとき、地面からの高さは頂点のy座標なので5であり、その時の水平距離xは頂点のx座標なので10です。

(2) $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ において、$y=0$ となるxを求めます。

$0 = -\frac{1}{20}x^2 + x = x(-\frac{1}{20}x + 1)$

したがって、$x=0$ または $-\frac{1}{20}x + 1 = 0$

$-\frac{1}{20}x + 1 = 0$ より $x = 20$

ボールが地面に落下するまでの水平距離は 20 です。

(3) $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ において、$y=0$ となるxを求めます。

$0 = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x = x(-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}})$

したがって、$x=0$ または $-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$

$-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$ より $x = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$

ボールが地面に落下するまでの水平距離は $10\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

アイ: 10

ウ: 5

エオ: 20

カキ: 10

ク: 3