$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$xy$ の値、$x+y$ の値、$x^3+y^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$xy$ の値、$x+y$ の値、$x^3+y^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$xy$ の値を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 1$

次に、$x+y$ の値を計算する。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

最後に、$x^3+y^3$ の値を計算する。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$x+y = 4$

$xy = 1$

$x^3+y^3 = 4(4^2 - 3(1)) = 4(16-3) = 4(13) = 52$

3. 最終的な答え

$xy = 1$

$x+y = 4$

$x^3+y^3 = 52$