2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ において、$0 \le x \le a$ の範囲での最大値と最小値を、$a$ が以下の範囲にある場合にそれぞれ求めよ。 (i) $0 < a < 2$ のとき (ii) $2 < a < 4$ のとき (iii) $a > 4$ のとき

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ において、$0 \le x \le a$ の範囲での最大値と最小値を、$a$ が以下の範囲にある場合にそれぞれ求めよ。

(i) $0 < a < 2$ のとき

(ii) $2 < a < 4$ のとき

(iii) $a > 4$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(2, 1)$ である。下に凸な放物線であり、軸は $x = 2$ である。

(i) $0 < a < 2$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ は軸 $x=2$ の左側にある。したがって、

最小値は $x=a$ のときで、$y = a^2 - 4a + 5$

最大値は $x=0$ のときで、$y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

(ii) $2 < a < 4$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ は軸 $x=2$ を含む。したがって、

最小値は $x=2$ のときで、$y = 1$

最大値は $x=0$ のときか、$x=a$ のときか、$a$ が2に近いほど$x=0$が最大値を取るので場合分けをする。

$f(0) = 5$、$f(a) = a^2 - 4a + 5$

$5 - (a^2 - 4a + 5) = -a^2 + 4a = a(4-a)$

$2 < a < 4$ より、$a > 0$ かつ $4-a > 0$ なので、$a(4-a) > 0$

したがって、$f(0) > f(a)$ なので、最大値は $x=0$ のときで、$y = 5$

(iii) $a > 4$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ は軸 $x=2$ を含む。

最小値は $x=2$ のときで、$y = 1$

最大値は $x=0$ のときか、$x=a$ のとき。

$f(0) = 5$、$f(a) = a^2 - 4a + 5$

$f(a) - f(0) = a^2 - 4a$

$a > 4$ より、$a^2 - 4a = a(a-4) > 0$

したがって、$f(a) > f(0)$ なので、最大値は $x=a$ のときで、$y = a^2 - 4a + 5$

3. 最終的な答え

(i) $0 < a < 2$ のとき

最大値: $5$

最小値: $a^2 - 4a + 5$

(ii) $2 < a < 4$ のとき

最大値: $5$

最小値: $1$

(iii) $a > 4$ のとき

最大値: $a^2 - 4a + 5$

最小値: $1$