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与えられた数学の問題集から、指定された問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。 (15) $(\sqrt{3}+2)^2 - \sqrt{48}$ (16) $(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}}$ (17) $(3\sqrt{3}+1)(1-\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3})^2$ (18) $4\sqrt{2} - (\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})$

代数学根号式の展開計算
2025/6/5

1. 問題の内容

与えられた数学の問題集から、指定された問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。
(15) (3+2)2−48(\sqrt{3}+2)^2 - \sqrt{48}
(16) (5+3)(5−3)+4812(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}}
(17) (33+1)(1−3)−(1−3)2(3\sqrt{3}+1)(1-\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3})^2
(18) 42−(5−23)(5+23)4\sqrt{2} - (\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})

2. 解き方の手順

(15) (3+2)2−48(\sqrt{3}+2)^2 - \sqrt{48}
まず、(3+2)2(\sqrt{3}+2)^2 を展開します。
(3+2)2=(3)2+2⋅3⋅2+22=3+43+4=7+43(\sqrt{3}+2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}
次に、48\sqrt{48} を簡単にします。
48=16⋅3=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}
したがって、
(3+2)2−48=(7+43)−43=7(\sqrt{3}+2)^2 - \sqrt{48} = (7 + 4\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = 7
(16) (5+3)(5−3)+4812(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}}
まず、(5+3)(5−3)(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) を展開します。
(5+3)(5−3)=(5)2−53+35−33=5−15+35−33(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5}\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3} = 5 - \sqrt{15} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}
次に、4812\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}} を簡単にします。
4812=4812=4=2\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{48}{12}} = \sqrt{4} = 2
したがって、
(5+3)(5−3)+4812=(5−15+35−33)+2=7−15+35−33(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}} = (5 - \sqrt{15} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) + 2 = 7 - \sqrt{15} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}
(17) (33+1)(1−3)−(1−3)2(3\sqrt{3}+1)(1-\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3})^2
まず、(33+1)(1−3)(3\sqrt{3}+1)(1-\sqrt{3}) を展開します。
(33+1)(1−3)=33−3(3)2+1−3=33−9+1−3=23−8(3\sqrt{3}+1)(1-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3(\sqrt{3})^2 + 1 - \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 9 + 1 - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 8
次に、(1−3)2(1-\sqrt{3})^2 を展開します。
(1−3)2=12−23+(3)2=1−23+3=4−23(1-\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
したがって、
(33+1)(1−3)−(1−3)2=(23−8)−(4−23)=23−8−4+23=43−12(3\sqrt{3}+1)(1-\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3} - 8) - (4 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 8 - 4 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 12
(18) 42−(5−23)(5+23)4\sqrt{2} - (\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})
(5−23)(5+23)(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3}) を展開します。これは (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2 - b^2 の形なので、
(5−23)(5+23)=(5)2−(23)2=5−4⋅3=5−12=−7(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 5 - 4 \cdot 3 = 5 - 12 = -7
したがって、
42−(5−23)(5+23)=42−(−7)=42+74\sqrt{2} - (\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3}) = 4\sqrt{2} - (-7) = 4\sqrt{2} + 7

3. 最終的な答え

(15) 7
(16) 7−15+35−337 - \sqrt{15} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}
(17) 43−124\sqrt{3} - 12
(18) 42+74\sqrt{2} + 7

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