数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3n - 2$ で与えられている。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) $a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}$ を $n$ で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3n - 2$ で与えられている。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) $a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}$ を $n$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = 2n^2 + 3n - 2$ より、

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 3(n-1) - 2 = 2(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3 - 2 = 2n^2 - 4n + 2 + 3n - 5 = 2n^2 - n - 3$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = (2n^2 + 3n - 2) - (2n^2 - n - 3) = 4n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3$

$a_n = 4n+1$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 4(1) + 1 = 5$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = 4n + 1$ であり、$a_1 = 3$ なので、

$a_n = \begin{cases} 3 & (n=1) \\ 4n+1 & (n \ge 2) \end{cases}$

(2) $a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}$ を $n$ で表す。

これは、数列 $\{a_n\}$ の第 $(n+1)$ 項から第 $2n$ 項までの和である。

これは $\sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ と表せる。

数列の和の公式を用いて求める。$a_n=4n+1$が使えるのは$n\ge2$の場合なので、場合分けする。

$n=1$ のとき、$a_2 = 4(2) + 1 = 9$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = 4n + 1$ である。

$\sum_{k=n+1}^{2n} a_k = \sum_{k=1}^{2n} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k = S_{2n} - S_n$

$S_{2n} = 2(2n)^2 + 3(2n) - 2 = 8n^2 + 6n - 2$

$S_n = 2n^2 + 3n - 2$

$S_{2n} - S_n = (8n^2 + 6n - 2) - (2n^2 + 3n - 2) = 6n^2 + 3n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \begin{cases} 3 & (n=1) \\ 4n+1 & (n \ge 2) \end{cases}$

(2) $6n^2 + 3n$