1. 問題の内容
与えられた4つの行列の階数（ランク）を求めます。
2. 解き方の手順
(1)
行列は
\begin{pmatrix}
3 & -2 & -1 \\
-1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
まず、1行目を3行目に足すと、
\begin{pmatrix}
3 & -2 & -1 \\
-1 & 2 & 3 \\
4 & -1 & 2
\end{pmatrix}
次に、2行目を3倍して1行目に足すと、
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 8 \\
-1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
1行目を4で割ると、
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
3行目から1行目を引くと、
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 3 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
2行目に1行目の-2倍を足すと、
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
3行目に2行目を足すと、
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
第1行と第2行を入れ替えると
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
行列のランクは2です。
(2)
行列は
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 4 \\
3 & 7 & 9 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
1行目を2で割ると、
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
3 & 7 & 9 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
2行目から1行目の3倍を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 7 & 3 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
3行目から1行目を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 7 & 3 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替えると、
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 7 & 3
\end{pmatrix}
3行目から2行目の7倍を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
3行目を3で割ると、
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
行列のランクは3です。
(3)
行列は
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 1 & 5 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
1行目を4で割ると、
\begin{pmatrix}
1 & 5/4 & 1/4 & 5/4 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 5/4 & 1/4 & 5/4 \\
0 & 1/2 & -1/2 & -3/2 \\
1 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
3行目から1行目を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 5/4 & 1/4 & 5/4 \\
0 & 1/2 & -1/2 & -3/2 \\
0 & -1/4 & -5/4 & -5/4
\end{pmatrix}
2行目を2倍すると、
\begin{pmatrix}
1 & 5/4 & 1/4 & 5/4 \\
0 & 1 & -1 & -3 \\
0 & -1/4 & -5/4 & -5/4
\end{pmatrix}
3行目に2行目の1/4倍を足すと、
\begin{pmatrix}
1 & 5/4 & 1/4 & 5/4 \\
0 & 1 & -1 & -3 \\
0 & 0 & -3/2 & -2
\end{pmatrix}
ランクは3です。
(4)
行列は
\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1 & -4 \\
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
-1 & -5 & 2 & -3
\end{pmatrix}
1行目と2行目を入れ替えると、
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
2 & 5 & 1 & -4 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
-1 & -5 & 2 & -3
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
-1 & -5 & 2 & -3
\end{pmatrix}
4行目に1行目を足すと、
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & -3 & 3 & -6
\end{pmatrix}
3行目から2行目を引くと、
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 3 & -6
\end{pmatrix}
4行目に2行目の3倍を足すと、
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
行列のランクは2です。
3. 最終的な答え
(1) ランク：2
(2) ランク：3
(3) ランク：3
(4) ランク：2