与えられた数式 $\left\{ \left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{5}{4}} \right\}^{\frac{2}{5}}$ を計算し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\left\{ \left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{5}{4}} \right\}^{\frac{2}{5}}$ を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、指数法則 $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ を用いて、式を簡略化します。

$\left\{ \left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{5}{4}} \right\}^{\frac{2}{5}} = \left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5}}$

次に、指数の積を計算します。

$-\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}$

したがって、式は次のようになります。

$\left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{1}{2}}$

指数が負の場合、$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ という性質を利用します。

$\left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{4}{9} \right)^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{2}$乗は平方根を表すので、次のようになります。

$\left( \frac{4}{9} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

最後に、平方根を計算します。

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$