与えられた対数の式を簡単にします。 (1) $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4$ (2) $\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6}$

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にします。

(1) $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4$

(2) $\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ と $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いて計算します。

$\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4 = \log_2 \frac{8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{4} = \log_2 \frac{2}{\sqrt{2}} = \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

(2) 対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ と $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いて計算します。

$\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6} = \log_3 \frac{\frac{27}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{6}}{18} = \log_3 \frac{27 \cdot 2 \sqrt{6}}{18 \sqrt{2}} = \log_3 \frac{54 \sqrt{3 \cdot 2}}{18 \sqrt{2}} = \log_3 \frac{54 \sqrt{3}}{18} = \log_3 3\sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{3}{2}$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にします。

(3) $\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_4 28 - 3\log_8 \sqrt{21}$

(4) $\log_3 54 - \frac{1}{3}\log_3 162 - \frac{1}{3}\log_3 4$

2. 解き方の手順

(3) 底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ と対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ と $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いて計算します。

$\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_4 28 - 3\log_8 \sqrt{21} = \frac{1}{2}\log_2 3 + \frac{\log_2 28}{\log_2 4} - 3 \frac{\log_2 \sqrt{21}}{\log_2 8} = \frac{1}{2}\log_2 3 + \frac{\log_2 28}{2} - 3 \frac{\frac{1}{2}\log_2 21}{3} = \frac{1}{2}\log_2 3 + \frac{1}{2}\log_2 28 - \frac{1}{2}\log_2 21 = \frac{1}{2} (\log_2 3 + \log_2 28 - \log_2 21) = \frac{1}{2} \log_2 \frac{3 \cdot 28}{21} = \frac{1}{2} \log_2 4 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

(4) 対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ と $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ と $c\log_a x = \log_a x^c$ を用いて計算します。

$\log_3 54 - \frac{1}{3}\log_3 162 - \frac{1}{3}\log_3 4 = \log_3 54 - \log_3 162^{\frac{1}{3}} - \log_3 4^{\frac{1}{3}} = \log_3 54 - \log_3 \sqrt[3]{162} - \log_3 \sqrt[3]{4} = \log_3 \frac{54}{\sqrt[3]{162 \cdot 4}} = \log_3 \frac{54}{\sqrt[3]{648}} = \log_3 \frac{54}{\sqrt[3]{216 \cdot 3}} = \log_3 \frac{54}{6\sqrt[3]{3}} = \log_3 \frac{9}{\sqrt[3]{3}} = \log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{1}{3}}} = \log_3 3^{\frac{5}{3}} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(3) $1$

(4) $\frac{5}{3}$