与えられた対数計算を簡略化し、その値を求めます。 与えられた式は、$\frac{1}{2}log_2{3} + log_4{28} - 3log_8{\sqrt{21}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた対数計算を簡略化し、その値を求めます。

与えられた式は、$\frac{1}{2}log_2{3} + log_4{28} - 3log_8{\sqrt{21}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を2に統一します。

$log_4{28} = \frac{log_2{28}}{log_2{4}} = \frac{log_2{28}}{2} = \frac{1}{2}log_2{28}$

$log_8{\sqrt{21}} = \frac{log_2{\sqrt{21}}}{log_2{8}} = \frac{log_2{21^{1/2}}}{3} = \frac{\frac{1}{2}log_2{21}}{3} = \frac{1}{6}log_2{21}$

与えられた式に代入すると、

$\frac{1}{2}log_2{3} + \frac{1}{2}log_2{28} - 3\frac{1}{6}log_2{21} = \frac{1}{2}log_2{3} + \frac{1}{2}log_2{28} - \frac{1}{2}log_2{21}$

$\frac{1}{2}log_2{3} + \frac{1}{2}log_2{28} - \frac{1}{2}log_2{21} = \frac{1}{2}(log_2{3} + log_2{28} - log_2{21})$

対数の性質 $log_a{x} + log_a{y} = log_a{xy}$ と $log_a{x} - log_a{y} = log_a{\frac{x}{y}}$ を利用すると、

$\frac{1}{2}(log_2{3} + log_2{28} - log_2{21}) = \frac{1}{2}(log_2{3 \times 28} - log_2{21}) = \frac{1}{2}(log_2{84} - log_2{21})$

$= \frac{1}{2}log_2{\frac{84}{21}} = \frac{1}{2}log_2{4}$

$log_2{4} = 2$ なので、

$\frac{1}{2}log_2{4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$

3. 最終的な答え

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