与えられた行列を用いて表現された連立一次方程式を、逆行列を使って解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} $
2025/6/4
1. 問題の内容
与えられた行列を用いて表現された連立一次方程式を、逆行列を使って解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。
\begin{bmatrix}
5 & -2 & 2 \\
3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
3
\end{bmatrix}
2. 解き方の手順
まず、与えられた行列をA、未知数ベクトルをx、定数ベクトルをbとすると、となります。
したがって、で解くことができます。
1. 行列Aの逆行列$A^{-1}$を求めます。
行列Aは、
$
A = \begin{bmatrix}
5 & -2 & 2 \\
3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$
です。
2. Aの行列式を計算します。
3. Aの余因子行列を計算します。
余因子行列Cは、
$
C = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1 \\
-2 & -4 & 1
\end{bmatrix}
$
4. Aの随伴行列adj(A)を計算します(余因子行列の転置)。
adj(A) = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & -2 \\
-1 & -1 & -4 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$
5. 逆行列$A^{-1}$を計算します。$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} * adj(A)$
A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix}
-1 & 0 & -2 \\
-1 & -1 & -4 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 4 \\
-1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$
6. 解を計算します。$x = A^{-1}b$
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 4 \\
-1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1*(-1) + 0*0 + 2*3 \\
1*(-1) + 1*0 + 4*3 \\
-1*(-1) + 1*0 + (-1)*3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-1 + 0 + 6 \\
-1 + 0 + 12 \\
1 + 0 - 3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
5 \\
11 \\
-2
\end{bmatrix}
$