2桁の整数があり、その十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数は、元の整数の3倍より5大きい。また、元の整数の一の位の数より1小さい数を4で割ると割り切れ、その商は元の整数の十の位の数と等しくなる。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の整数があり、その十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数は、元の整数の3倍より5大きい。また、元の整数の一の位の数より1小さい数を4で割ると割り切れ、その商は元の整数の十の位の数と等しくなる。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位を $x$、一の位を $y$ とする。元の整数は $10x + y$ と表せる。

入れ替えた整数は $10y + x$ と表せる。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

(1) $10y + x = 3(10x + y) + 5$

(2) $\frac{y-1}{4} = x$

式(1)を変形する。

$10y + x = 30x + 3y + 5$

$7y - 29x = 5$

式(2)を変形する。

$y - 1 = 4x$

$y = 4x + 1$

$y = 4x + 1$ を $7y - 29x = 5$ に代入する。

$7(4x + 1) - 29x = 5$

$28x + 7 - 29x = 5$

$-x = -2$

$x = 2$

$x = 2$ を $y = 4x + 1$ に代入する。

$y = 4(2) + 1$

$y = 8 + 1$

$y = 9$

元の整数は $10x + y = 10(2) + 9 = 29$

3. 最終的な答え

29