問題は、以下の等式が成り立つかを確認する問題です。 $ (1 + 2 + 3 + ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 $

1. 問題の内容

問題は、以下の等式が成り立つかを確認する問題です。

$(1 + 2 + 3 + ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3$

2. 解き方の手順

左辺と右辺をそれぞれ計算し、比較します。

まず、左辺を計算します。$1$ から $n$ までの自然数の和は、以下の公式で表されます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、左辺は次のようになります。

$(1 + 2 + 3 + ... + n)^2 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

次に、右辺を計算します。$1^3$ から $n^3$ までの和は、以下の公式で表されます。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

したがって、右辺は次のようになります。

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

左辺と右辺を比較すると、両方とも $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ となり、等しいことがわかります。

3. 最終的な答え

与えられた等式は正しいです。