ベクトル $\mathbf{a}$ がベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の一次結合で表せるための $a$ および $b$ の条件を求める問題です。 (1) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a}$ がベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の一次結合で表せるための $a$ および $b$ の条件を求める問題です。

(1) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{a}$ がベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の一次結合で表せるということは、あるスカラー $s$ と $t$ が存在して、$\mathbf{a} = s\mathbf{b}_1 + t\mathbf{b}_2$ と表せるということです。

(1)

$\begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

この式は次の連立方程式で表せます。

$s + 2t = a$

$2s + 3t = 2$

$s + t = 3$

3番目の式から、$s = 3 - t$。

これを2番目の式に代入すると、$2(3 - t) + 3t = 2$ より、$6 - 2t + 3t = 2$ なので、$t = -4$。

よって、$s = 3 - (-4) = 7$。

これを1番目の式に代入すると、$7 + 2(-4) = a$ より、$7 - 8 = a$ なので、$a = -1$。

(2)

$\begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

この式は次の連立方程式で表せます。

$s + 2t = 0$

$-s + t = a$

$s + 3t = b$

1番目の式から、$s = -2t$。

これを2番目の式に代入すると、$-(-2t) + t = a$ より、$3t = a$。したがって、$t = a/3$。

よって、$s = -2t = -2a/3$。

これらを3番目の式に代入すると、$-2a/3 + 3(a/3) = b$ より、$-2a/3 + a = b$ なので、$a/3 = b$。したがって、$a = 3b$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $a = 3b$